とある業務の担当者がいなくなった時、その業務が無くなるのであればその業務は不要である、は真か。
私の結論としては、偽です。担当者が居なくなったときに。その業務が無くなるとしても、必要である業務は存在します。
その担当者が職人だったときです。ここで言う職人とは、簡単に真似できない高いスキル、職人芸を持つ人とします。
【職人芸】専門的な修練を十分積んではじめてできる、たくみな技芸。また、そのできばえ。引用：https://kotobank.jp/word/職人芸-534267
その技術の習得に必要なものは、経験や才能や努力やその全てだったりするのでしょう。経営者やマネージャーとして、そのようなスキルを持った方を採用する場合、明確にやって欲しいことがあってその職人を採用しているはずです。ということは、職人にはやってほしいからその業務をやってもらうし、職人がいなくなったらできなくなるのも仕方ないケースもあるのでは。
または、担当者が職人として育つケースもありそうですね。できれば育つまでのノウハウが明らかになっているとよいのですが、才能（という言葉は逃げている感じがしますが）によって誰でもできるわけではないこともあるでしょう。
デメリットとしては、その職人が居なくなったときに引き継げる人が居ないことです。このデメリットに目を瞑ってでも得られる高い効果があるならば、業務の担当者に職人をあてるのは良いと思います。
職人芸ではなく単なる属人化、プロセスの明確化やコツの伝授によって誰にでも可能になる業務に対してのスキトラを怠ったケース、は避けるべきです。その業務の効果を判断し、継続できる仕組みづくりをしないといけません。
まとめると、
やって欲しいことが最初にある
高いスキルによって実現されており、他の人では再現が難しい
という条件が満たされる場合、担当者がいなくなった時に無くなる業務であっても必要な業務はある、と言えそうです。